W czworokącie ABCD długości boków AD i DC są równe. Wykaż, że jeśli przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku A lub przy wierzchołku C, to czworokąt ABCD jest trapezem.

Rozwiązanie:

Dwusiecznej kąta przy wierzchołku wierzchołku A.

Wiemy, że przekątna AC zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku A oraz długości boków AD i DC są równe. Wykonujemy rysunek:

Zauważamy, że trójkąt ADC jest trójkątem równoramiennym, zatem kąty przy podstawie AC mają równe miary.

Zauważamy, że kąty BAC oraz ACD mają równe miary zatem są to kąty naprzemianległe dwóch prostych równoległych (AB oraz CD) przeciętych trzecią prostą AC:

Jeżeli boki AB oraz CD są równolegle to czworokąt ABCD jest trapezem (ma co najmniej jedną parę boków równoległych).

Analogicznie postępujemy w przypadku dwusiecznej kąta przy wierzchołku C. Wykonujemy rysunek:

Zauważamy, że trójkąt ADC jest trójkątem równoramiennym, zatem kąty przy podstawie AC mają równe miary.

Zauważamy, że kąty DAC oraz ACB mają równe miary zatem są to kąty naprzemianległe dwóch prostych równoległych (AD oraz BC) przeciętych trzecią prostą AC.

Jeżeli boki AD oraz BC są równolegle to czworokąt ABCD jest trapezem (ma co najmniej jedną parę boków równoległych).