Równania prowadzące do równań kwadratowych

Szczegóły: Odsłon: 3834

Równanie , gdzie , nazywamy równaniem dwukwadratowym.

Przykład 1

Rozwiąż równanie:

Równanie można zapisać w postaci:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Przykład 2

Wykaż, że równanie jest sprzeczne:

Równanie można zapisać w postaci:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiąż równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie kwadratowe korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Wracamy do podstawienia:

Szczegóły: Odsłon: 2129

Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Przekształcamy równanie kwadratowe korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Wracamy do podstawienia:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, jedno rozwiązanie:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Otrzymujemy trzy rozwiązania:

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy jedno rozwiązanie:

Szczegóły: Odsłon: 1658

Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

Przekształcamy równania do postaci:

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Otrzymujemy cztery rozwiązania:

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, jedno rozwiązanie:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie:

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Przekształcamy równanie:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Szczegóły: Odsłon: 1537

Rozwiąż równanie:

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

Przekształcamy równania do postaci:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Otrzymujemy trzy rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Wprowadzamy zmienną t:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Wniosek:

, dwa rozwiązania:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

Rozwiązujemy dwa równania:

Równanie sprzeczne, brak rozwiązań.

Otrzymujemy dwa rozwiązania:

Szczegóły: Odsłon: 1900

Podaj przykład równania dwukwadratowego, które:

a) ma dwa rozwiązania

b) jest sprzeczne

c) ma trzy rozwiązania

d) ma cztery rozwiązania

Rozwiązanie:

a) ma dwa rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

Niech:

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

Równanie dwukwadratowe ma mieć dwa rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało jedno dodatnie rozwiązanie :

Otrzymujemy np.:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

b) jest sprzeczne

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

Niech:

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

Równanie dwukwadratowe ma być sprzeczne, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t nie miało rozwiązań :

Otrzymujemy np.:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

c) ma trzy rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

Niech:

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

Równanie dwukwadratowe ma mieć trzy rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało dwa rozwiązania: jedno równe zero, drugie dodatnie :

Otrzymujemy np.:

Wracamy do podstawienia:

Otrzymujemy:

d) ma cztery rozwiązania

Zapisujemy równanie dwukwadratowe:

Niech:

Zapisujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:

Równanie dwukwadratowe ma mieć cztery rozwiązania, zatem dobieramy współczynniki a, b, c w taki sposób, aby równanie ze zmienną t miało dwa dodatnie rozwiązania :