Witaj w matzadanie!

Szczegóły

Odsłon: 2003

Trójkąty  oraz  są podobne w skali . Wynika stąd, że:

 oraz 

Otrzymujemy:

Twierdzenie 1.

Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 1.

W trójkącie ABC poprowadzono odcinek , , który podzielił trójkąt ABC na trójkąt DEC i trapez ABED. Stosunek pól trójkąta DEC i trapezu ABED wynosi . Oblicz .

Rozwiązanie:

Zauważamy, że trójkąty ABC i DEC są podobne.

Wiemy, że stosunek pól trójkąta DEC i trapezu ABED wynosi .

Oznaczmy:

zatem:

Wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABC i DEC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Wyznaczamy stosunek .

Wiemy, że:

zatem:

Oznaczmy:

Otrzymujemy:

Przykład 2.

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość  i . Odcinek CD jest wysokością w tym trójkącie. Oblicz pola trójkątów ACD i BCD.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

Obliczamy pole trójkąta ABC.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Zauważamy, że trójkąty ABC, ACD i BCD są podobne (cecha kkk):

Wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów podobnych ACD i BCD.

Wiemy, że:

Skalę podobieństwa tych trójkątów wyraża stosunek długości boków AC i BC:

Obliczmy pola trójkątów ACD i BCD.

Wiemy, że:

Otrzymujemy: