Tożsamością trygonometryczną nazywamy równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych i która jest prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych.
Twierdzenie 1
, jeśli ![]()
, jeśli ![]()
, jeśli ![]()
, jeśli ![]()
Równość
nazywamy jedynką trygonometryczną.
Przykład 1
Wiedząc, że
i
jest kątem ostrym oblicz
.
Wyznaczamy
korzystając z jedynki trygonometrycznej:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Wyznaczamy
, korzystając ze wzoru:
![]()
![]()
![]()

![]()
![]()
Wyznaczamy
, korzystając ze wzoru:
![]()
![]()
![]()

![]()
![]()
Warto zauważyć, że:
![]()
Przykład 2
Wiedząc, że
i
jest kątem rozwartym oblicz
.
Wyznaczamy
, korzystając ze wzoru:
![]()
![]()
![]()
Wyznaczamy
korzystając ze wzoru:
![]()
![]()
![]()
![]()
Wyznaczamy
korzystając z jedynki trygonometrycznej:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()


![]()
Wyznaczamy
:
![]()
![]()
![]()
![]()
Twierdzenie 3 (wzory redukcyjne)
Jeśli
jest kątem ostrym, to:
![]()
![]()
![]()
![]()
Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
, jeśli:
a)
b)
c)
d) 
e)
f)
g)
h) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 1
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 2
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 3
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 4
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 5
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 6
Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością, jeśli
jest katem ostrym.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 7
Wykaż, że jeśli
jest kątem ostrym, to podana równość jest tożsamością.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 8
Wykaż, że jeśli
jest kątem ostrym, to:
a) 
b) 
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 9
Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 10
Ustaw liczby w porządku rosnącym, bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 12
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 13
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 14
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 15
Wiedząc, że
jest kątem ostrym oraz
, oblicz:
a) ![]()
b) ![]()
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 16
W trójkącie ostrokątnym ABC naprzeciw boków długości a, b, c, leżą odpowiednio kąty
. Bez wyznaczania miar kątów trójkąta rozstrzygnij, który bok trójkąta jest najkrótszy, a który najdłuższy, jeśli:
a) ![]()
b) ![]()
c) 
d) 
Czytaj więcej: Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego. Zadanie 17
Egzamin ósmoklasisty z matematyki
- zadania egzaminacyjne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do egzaminu ósmoklasisty z matematyki.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny egzaminu ósmoklasisty. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają się w dniu egzaminu około godziny 14: cke.gov.pl
Matematyka - egzamin ósmoklasisty:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
Matura z matematyki - zadania maturalne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do matury z matematyki - poziom podstawowy.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny matury podstawowej. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają sę w dniu egzaminu około godziny 14: CKE
Arkusze maturalne - poziom podstawowy:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2018 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2017 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2016 | pobierz | zobacz | zobacz |
tablice matematyczne 2023 - pobierz
tablice matematyczne - pobierz