Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 6659
Definicja 1.
W układzie współrzędnych dane są punkty 
i 
.
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb 
.
Taki wektor oznaczamy 
.
Liczby 
nazywamy współrzędnymi wektora.
Przykład 1.
Na rysunku poniżej w układzie współrzędnych dane są punkty A, B, C, D, E, F oraz wektory 
. Oblicz współrzędne podanych wektorów.
Wektor jest zaczepiony w punkcie 
, a jego końcem jest punkt 
, zatem:
Wyznaczamy współrzędne wektorów 
i 
:
Wektor, którego obie współrzędne są zerami, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 
. Interpretacją geometryczną wektora zerowego jest punkt.
Przykład 2.
Dany jest punkt 
. Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc, że 
.
Wiemy, że:
Korzystamy z definicji wektora:
Otrzymujemy:
Przesunięcie z punktu A do punktu B wzdłuż osi OX opisuje pierwsza współrzędna wektora , zaś wzdłuż osi OY – druga współrzędna tego wektora. Jeśli współrzędna wektora jest liczbą dodatnią, to przesunięcie jest zgodne ze zwrotem osi, a jeśli ujemną – przeciwne do zwrotu osi.
Wektory 
i 
nazywamy wektorami składowymi wektora .
Przykład 2.
Dany jest punkt 
oraz wektor 
.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora,
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych 
i 
, wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
a) Podaj współrzędne składowych tego wektora
b) Zaznacz w układzie współrzędnych punkt A. Korzystając z wektorów składowych i , wyznacz współrzędne punktu C oraz współrzędne punktu B.
Definicja 2.
Wektory 
i 
, gdzie 
i 
, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy 
i 
. Równość wektorów i zapisujemy 
.
Przykład 3.
Przedstaw w układzie współrzędnych wektor 
.
Zbiór wszystkich wektorów równych danemu wektorowi zaczepionemu nazywamy wektorem swobodnym.
Przykład 4.
Odczytaj z rysunku współrzędne przedstawionych wektorów.
Definicja 3.
Długością wektora , gdzie , nazywamy liczbę 
. Długość wektora oznaczamy 
.
Przykład 5.
Oblicz długość wektora , gdzie 
.
Jeśli i , to długość wektora wyraża się wzorem:
Przykład 6.
Mamy dane punkty 
i 
. Wyznacz długość wektora .
Definicja 4.
Sumą wektorów i , gdzie i , nazywamy wektor 
. Sumę wektorów i oznaczamy 
.
Przykład 7.
Wyznacz sumę wektorów i , gdzie 
i 
, a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 5.
Wektory i , gdzie i , są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów i jest wektorem zerowym, wówczas:
oraz
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy 
.
Wektor przeciwny do wektora oznaczamy 
lub 
.
Jeśli wówczas 
.
Definicja 6.
Różnicą wektorów i , gdzie i , nazywamy wektor 
. Różnicę wektorów i oznaczamy 
.
Odjąć wektor od wektora to znaczy dodać do wektora wektor 
.
Przykład 8.
Wyznacz różnicę wektorów i , gdzie i , a następnie przedstaw jej graficzną interpretację.
Definicja 7.
Iloczynem wektora , gdzie , przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor 
. Iloczyn wektora przez liczbę k oznaczamy 
.
Przykład 9.
Jeśli , to 
.
Twierdzenie 1.
Jeśli punkt S jest środkiem odcinka AB, gdzie i , to
- Szczegóły
- Odsłon: 2994
Oblicz współrzędne wektora 
, wiedząc, że:
a) 
b) 
Jakie współrzędne ma wektor 
?
- Szczegóły
- Odsłon: 2973
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wektory 
, 
i 
, gdzie 
. Początek wektora dobierz dowolnie.
- Szczegóły
- Odsłon: 2934
Podaj współrzędne wektorów zaznaczonych na rysunku obok. Następnie oblicz długości tych wektorów.
- Szczegóły
- Odsłon: 2536
Dany jest punkt A oraz wektor 
. Wyznacz współrzędne punktu B.
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2131
Dany jest punkt B oraz wektor 
. Wyznacz współrzędne punktu A.
a) 
b) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2512
Dane są punkty 
. Wyznacz punkt D, dla którego:
a) wektory 
i 
są równe,
b) wektory i są przeciwne.
Narysuj wektory i w jednym układzie współrzędnych.
- Szczegóły
- Odsłon: 2474
Wyznacz liczby a i b, dla których wektory 
i 
, gdzie:
a) 
, są równe,
b) 
, są przeciwne.
- Szczegóły
- Odsłon: 2113
Oblicz współrzędne środka odcinka AB, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 2319
Oblicz długość wektora:
a) 
, jeśli 
,
b) 
, jeśli 
,
c) 
, jeśli 
,
d) 
, jeśli 
.
- Szczegóły
- Odsłon: 2397
Dane są punkty: A, B i P. Zaznacz w układzie współrzędnych wektor 
oraz 
i oblicz ich współrzędne. Jaka jest zależność między wektorem i wektorem ?
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1919
Dany jest wektor 
, gdzie 
i punkt 
. Wyznacz współrzędne punktu B, dla którego:
a) 
b) 
c) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1960
Wiedząc, że 
oraz 
, wyznacz współrzędne wektora:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1833
Wiedząc, że 
oraz 
, wyznacz długość wektora:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1812
Wiedząc, że 
i 
, wyznacz liczby a i b, dla których:
a) 
b) 
c) 
d) 
- Szczegóły
- Odsłon: 1646
Wektory 
i 
są równoległe. Oblicz a jeśli:
a) 
b) 