Witaj w matzadanie!
Co znajdziecie na stronie?
Strona matzadanie.pl jest przeznaczona dla osób, które chcą rozwijać swoje umiejętności matematyczne.
Na stronie zamieszczone są opracowania poszczególnych zagadnień oraz przykładowe zadania, które na co dzień sprawiają Wam największe problemy.
Powodzenia.
Kanał YouTube »
- Szczegóły
- Odsłon: 4296
Definicja 1
Funkcją liniową nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą wzoru 
, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, zaś b wyrazem wolnym.
Twierdzenie 1
Wykresem funkcji liniowej jest prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych 
oraz 
, gdzie 
:
– punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY
– punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX (miejsce zerowe funkcji liniowej)
Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty należące do wykresu funkcji i poprowadzić przez nie prostą.
Przykład 1
Naszkicuj wykres podanych funkcji:
a)  |
b)  |
c)  |
d)  |
a)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
b)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
c)
Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:
oraz
Otrzymujemy
Widzimy, że w tym przypadku punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych leżą w tym samym punkcie. Aby wyznaczyć współrzędne drugiego punktu należącego do wykresu funkcji skorzystamy z jej wzoru
Podstawiamy do wzoru w miejsce zmiennej x dowolną liczbę np.: 
, wyznaczając w ten sposób drugą współrzędną punktu należącego do wykresu funkcji
Otrzymujemy
d)
W tym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy zero, zatem funkcja nie ma punktów wspólnych z osią OX. Wykresem takiej funkcji jest prosta, równoległa do osi OX, przechodząca przez punkt .
Twierdzenie 2
Funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy i jest ono równe 
.
Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy 
i 
.
Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy i 
.
Przykład 2
Funkcja liniowa 
ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja liniowa 
. Oblicz b.
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji
Wiedząc, że funkcja ma to same miejsce zerowe co funkcja wyznaczamy b:
Przykład 3
Dana jest funkcja liniowa opisana wzorem 
. Sprawdź, ile miejsc zerowych ma funkcja f, jeśli:
a)  |
b)  |
c)  |
a) Dla mamy:
Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 
.
b) Dla mamy:
Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.
c) Dla mamy:
Funkcja f nie ma miejsc zerowych.
- Szczegóły
- Odsłon: 3381
Wśród poniższych funkcji określonych wzorami znajdują się funkcje liniowe. Wskaż je.
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 1
- Szczegóły
- Odsłon: 2742
Dla każdej z poniższych funkcji liniowych podaj współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b.
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 2
- Szczegóły
- Odsłon: 4956
Do wykresu proporcjonalności prostej należy punkt A. Wyznacz wzór tej funkcji i naszkicuj jej wykres w prostokątnym układzie współrzędnych.
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 3
- Szczegóły
- Odsłon: 3058
Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej 
. Wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty 
oraz 
, napisz wzór tej funkcji.
a) 
b) 
c) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 4
- Szczegóły
- Odsłon: 5074
Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty:
a) 
b) 
c) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 5
- Szczegóły
- Odsłon: 5492
Dany jest wzór funkcji liniowej. Oblicz współrzędne punktów, jeżeli istnieją, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych. Następnie naszkicuj wykres tej funkcji i omów jej własności, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 6
- Szczegóły
- Odsłon: 3789
Wyznacz miejsce zerowe funkcji liniowej f, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 7
- Szczegóły
- Odsłon: 3366
Wyznacz brakujący współczynnik we wzorze funkcji liniowej wiedząc, że liczba podana obok wzoru funkcji jest miejscem zerowym tej funkcji.
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 8
- Szczegóły
- Odsłon: 3196
Naszkicuj wykres funkcji f. Następnie odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji f, jeśli:
a) 
b) 
c) 
d) 
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 9
- Szczegóły
- Odsłon: 1920
Dana jest funkcja liniowa 
. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią OY, jeśli:
a)  |
b)  |
c)  |
d)  |
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 10
- Szczegóły
- Odsłon: 1907
Dana jest funkcja liniowa 
. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji h z osią OX, jeśli:
a)  |
b)  |
c)  |
d)  |
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 11
- Szczegóły
- Odsłon: 3651
Funkcję liniową f opisuje wzór: 
. Wyznacz liczbę m, dla której:
a) funkcja f jest proporcjonalnością prostą;
b) wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie 
;
c) do wykresu tej funkcji należy punkt 
;
d) miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.
Dla wyznaczonej wartości m podaj wzór funkcji f i sprawdź poprawność obliczeń.
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 12
- Szczegóły
- Odsłon: 2023
Funkcja liniowa 
oraz 
mają wspólne miejsce zerowe. Oblicz a. następnie podaj współrzędne punktu przecięcia funkcji g z osią OY.
Czytaj więcej: Wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej. Zadanie 13