Definicja 1

Funkcją liniową nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą wzoru , gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, zaś b wyrazem wolnym.

Twierdzenie 1

Wykresem funkcji liniowej  jest prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych  oraz , gdzie :

 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY

 – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX (miejsce zerowe funkcji liniowej)

Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty należące do wykresu funkcji i poprowadzić przez nie prostą.

Przykład 1

Naszkicuj wykres podanych funkcji:

a)

b)

c)

d)

a) 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 oraz 

Otrzymujemy

b) 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 oraz 

Otrzymujemy

c) 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji:

 oraz 

Otrzymujemy

Widzimy, że w tym przypadku punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych leżą w tym samym punkcie. Aby wyznaczyć współrzędne drugiego punktu należącego do wykresu funkcji skorzystamy z jej wzoru

Podstawiamy do wzoru w miejsce zmiennej x dowolną liczbę np.: , wyznaczając w ten sposób drugą współrzędną punktu należącego do wykresu funkcji

Otrzymujemy

d) 

W tym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy zero, zatem funkcja nie ma punktów wspólnych z osią OX. Wykresem takiej funkcji jest prosta, równoległa do osi OX, przechodząca przez punkt .

Twierdzenie 2

Funkcja liniowa  ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy  i jest ono równe .

Funkcja liniowa  nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy  i .

Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji liniowej  wtedy i tylko wtedy, gdy  i .

Przykład 2

Funkcja liniowa  ma takie samo miejsce zerowe jak funkcja liniowa . Oblicz b.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji 

Wiedząc, że funkcja  ma to same miejsce zerowe co funkcja  wyznaczamy b:

Przykład 3

Dana jest funkcja liniowa opisana wzorem . Sprawdź, ile miejsc zerowych ma funkcja f, jeśli:

a)

b)

c)

a) Dla  mamy:

Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe .

b) Dla  mamy:

Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji f.

c) Dla  mamy:

Funkcja f nie ma miejsc zerowych.