Kanał YouTube »
Przesuń wierzchołek A i obserwuj jak zmienia się położenie wysokości w trójkącie
Definicja 1
Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
Twierdzenie 1
W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia się wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.
Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta lub jego przedłużenia, na który została opuszczona wysokość nazywamy spodkiem wysokości trójkąta.
Wysokości w wybranych trójkątach:
- trójkąt równoramienny:
W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami na podstawę dzieli ją na dwie równe części.
- trójkąt równoboczny:
W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe. Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyrażona jest wzorem:
- trójkąt prostokątny:
W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość 
i 
, dla których wyrażona jest wzorem:
Przykład 1
Oblicz pole powierzchni trójkąta prostokątnego wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długości 5 cm i 12 cm.
Wiemy, że:
Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru:
Obliczamy pole trójkąta:
Definicja 2
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.
Twierdzenie 2
W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.
Środkowe w wybranych trójkątach:
- trójkąt równoramienny:
W trójkącie równoramiennym środkowa pokrywa się z wysokością poprowadzoną z wierzchołka między ramionami.
- trójkąt równoboczny:
W trójkącie równobocznym wszystkie środkowe pokrywają się z wysokościami. Wynika stąd, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.
- trójkąt prostokątny:
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy przeciwprostokątnej.
Przykład 2
W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 8 cm, a środkowa CE ma długość 16 cm. Oblicz długość środkowej AD.
Wiemy, że:
Obliczamy długość odcinka AO korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Obliczamy długość odcinka OD:
Obliczamy długość środkowej AD:
