Przykład 1.
Rozwiąż równanie
wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.
Wyrażenie
oznacza odległość liczby x od liczby 4. Znajdujemy liczby, których odległość od liczby 4 wynosi 3.
![]()
Szukane liczby to 1 i 7, zatem:
![]()
Przykład 2.
Napisz równanie z wartością bezwzględną typu
, którego zbiorem rozwiązań jest zbiór:
a) ![]()
Liczby -7 i 7 są położone w odległości 7 od liczby 0 na osi liczbowej, zatem:
![]()
![]()
b) ![]()
Wyznaczamy liczbę równoodległą od liczb -4 i 6:
![]()
Liczby -4 i 6 są położone w odległości 5 od liczby 1 na osi liczbowej, zatem:
![]()
Przykład 3.
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
Równanie
ma tylko jedno rozwiązanie, ponieważ istnieje tylko jedna liczba rzeczywista, której odległość od liczby 6 jest równa 0, jest to liczba 6.
![]()
b) ![]()
Równanie
jest sprzeczne, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.
Twierdzenie 1.
Jeśli a jest dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i w jest dowolnym wyrażeniem, wówczas:
![]()
Przykład 4.
Korzystając z twierdzenia 1 rozwiąż równanie
.
![]()
Rozpatrujemy dwa przypadki: ![]()
Pierwszy przypadek:
![]()
![]()
![]()
Drugi przypadek:
![]()
![]()
![]()
Otrzymujemy:
![]()
Przykład 5.
Rozwiąż graficznie równanie
.
Szkicujemy wykresy funkcji
i
w jednym układzie współrzędnych:
![]()
![]()

Otrzymujemy:
![]()
Rozwiąż równanie
na trzy sposoby:
a) na podstawie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej,
b) korzystając z twierdzenia 1,
c) szkicując wykres odpowiedniej funkcji w układzie współrzędnych.
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 1
Rozwiąż dane równanie, wykorzystując geometryczną interpretację wartości bezwzględnej na osi liczbowej.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 2
Napisz równanie z niewiadomą x, typu
, jeśli dany jest jego zbiór rozwiązań:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f)
.
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 3
Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 4
Rozwiąż dane równanie, stosując twierdzenie 1.
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 5
Rozwiąż graficznie równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 6
Podaj przykład równania z wartością bezwzględną:
a) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi,
b) które ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnych znaków,
c) które ma dwa rozwiązania ujemne,
d) którego jedynym rozwiązaniem jest dodatnia liczba wymierna.
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 7
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 8
Rozwiąż równanie:
a) ![]()
b) ![]()
c) ![]()
d) ![]()
e) ![]()
f) ![]()
Czytaj więcej: Proste równania z wartością bezwzględną. Zadanie 9
Egzamin ósmoklasisty z matematyki
- zadania egzaminacyjne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do egzaminu ósmoklasisty z matematyki.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny egzaminu ósmoklasisty. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają się w dniu egzaminu około godziny 14: cke.gov.pl
Matematyka - egzamin ósmoklasisty:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
Matura z matematyki - zadania maturalne
Przed Tobą materiały edukacyjne, które pomogą Ci się przygotować do matury z matematyki - poziom podstawowy.
W tym miejscu znajdziesz zbiory zadań z poszczególnych dziedzin, które zgodnie z wytycznymi CKE wchodzą w zakres tematyczny matury podstawowej. Każde zadanie opatrzone jest bardzo obszernym rozwiązaniem, dzięki czemu jesteś w stanie nie tylko sprawdzić poprawność swoich obliczeń, ale także nauczyć się rozwiązywania danego typu zadań.
Nowe arkusze w aktualnym roku szkolnym pojawiają sę w dniu egzaminu około godziny 14: CKE
Arkusze maturalne - poziom podstawowy:
| Rok | Arkusz |
Rozwiązanie |
Rozwiązanie |
| 2026 | pobierz | zobacz | |
| 2025 | pobierz | zobacz | |
| 2024 | pobierz | zobacz | |
| 2023 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2022 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2021 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2020 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2019 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2018 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2017 | pobierz | zobacz | zobacz |
| 2016 | pobierz | zobacz | zobacz |
tablice matematyczne 2023 - pobierz
tablice matematyczne - pobierz