Witaj w matzadanie!

Szczegóły

Odsłon: 1239

      

Tożsamością trygonometryczną nazywamy zależność, która jest prawdziwa dla wszystkich występujących w niej wartości funkcji trygonometrycznych.

Twierdzenie 1

, jeśli  

( tzw. jedynka trygonometryczna ),

, jeśli  i  i ,

, jeśli  i ,

, jeśli  i  i  i .

Przykład 1

Wiedząc, że , oblicz .

Rozwiązanie:

Zauważamy, że tangens  jest dodatni.

Wiemy, że tangens  jest dodatni w I i III ćwiartce układu współrzędnych ( sprawdź ), zatem:

Najpierw obliczamy . Wiemy, że

zatem:

Aby obliczyć  i  korzystamy ze wzorów:

Wiemy, że

Korzystając z pierwszego wzoru wyznaczamy jedną z funkcji trygonometrycznych np.: 

 

Wyznaczamy , wstawiając

do drugiego wzoru

Istnieją dwa kąty spełniające warunki zadania:

- pierwszy kąt :

- drugi kąt :

Przykład 2

Sprawdź, czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną:

, jeśli  i  i .

Rozwiązanie:

Przekształcamy równanie:

Twierdzenie 2

Jeśli liczby rzeczywiste a, b spełniają zależność , to istnieje taki kąt , , że  i .