W trójkącie ostrokątnym ABC naprzeciw boków długości a, b, c, leżą odpowiednio kąty . Bez wyznaczania miar kątów trójkąta rozstrzygnij, który bok trójkąta jest najkrótszy, a który najdłuższy, jeśli:

a) 

b) 

c) 

d) 

Rozwiązanie:

a) 

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas:

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta  wzrasta wartość .

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

b) 

Korzystamy ze wzoru:

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas:

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta  maleje wartość .

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

c) 

Wyznaczamy wysokość trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Otrzymujemy:

Długości boków mogą mieć różną długość w zależności od y 

Przyjmijmy , wówczas:

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

Otrzymujemy:

Korzystamy ze wzoru:

Porównujemy sinusy kątów:

Wiemy, że:

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta  wzrasta wartość .

Otrzymujemy:

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem:

d) 

Wyznaczamy długość przyprostokątnych w trójkątach prostokątnych korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Długości boków mogą mieć różną długość w zależności od y 

Przyjmijmy , wówczas:

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

Obliczamy pole trójkąta korzystając ze wzoru:

Otrzymujemy:

Porównujemy sinusy kątów:

Wiemy, że:

Wiemy, że jeśli kąt  jest kątem ostrym wówczas wraz ze wzrostem miary kąta  wzrasta wartość .

Otrzymujemy:

Naprzeciwko najmniejszego kąta w trójkącie leży najmniejszy bok. Zatem: