W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).
Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

Oznaczmy boki całego wybiegu:

wówczas:

Obliczamy maksymalne pole prostokąta:

Wiemy, że do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki, zatem:

Wyznaczamy z równania jedną z niewiadomych, np. x:

Zauważamy, że:

Wstawiamy otrzymane równanie do pola wybiegu:

otrzymujemy:

Zauważamy, że wykresem funkcji opisującej powierzchnię wybiegu jest parabola z ramionami skierowanymi do dołu ().

Zauważamy, że maksymalne pole znajdziemy wyznaczając pierwszą współrzędną wierzchołka .

otrzymujemy:

zatem:

Obliczamy długość x wybiegu:

Matematyka, matura 2024: zadanie 31 - poziom podstawowy