Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa , to miara kąta ASD jest równa .

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa , to miara kąta ASD jest równa .

Rozwiązanie:

Widzimy, że na rysunku mamy dwa trójkąty równoramienne SBC i ASB.

Wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi , wyznaczymy miarę kąta SBC

Zauważmy, że kąty ABS i SBC tworzą kąt półpełny, zatem

Wyznaczymy miarę kąta  w zależności od

Wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta wynosi , wyznaczymy miarę kąta ASB

Wiedząc, że , otrzymujemy

Widzimy, że kąt DSC to kąt półpełny, zatem wyznaczymy miarę kąta ASD

Matematyka, matura 2019: zadanie 29 - poziom podstawowy