Wykaż, że podane trójkąty są podobne.

a) 

b) 

c) 

 - równoległobok

d) 

Rozwiązanie:

a) 

Widzimy, że  jako kąty wierzchołkowe.

Wiemy, że  zatem  oraz  jako kąty naprzemianległe (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

Widzimy, że:

zatem  są do siebie podobne.

b) 

Widzimy, że  ponieważ ramiona obydwu trójkątów i kąt przy wierzchołku  pokrywają się.

Wiemy, że  zatem  oraz  jako kąty odpowiadające (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

Widzimy, że:

zatem   są do siebie podobne.

c) 

 - równoległobok

Widzimy, że w obydwu trójkątach znajduje się kąt prosty.

Wiemy, że czworokąt  jest równoległobokiem, zatem  oraz .

Widzimy, że  jako kąty odpowiadające (twierdzenie o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą).

Widzimy, że w obydwu trójkątach występują kąty proste i kąty o mierze , zatem trzeci kąt musi mieć taką samą miarę w obydwu trójkątach (suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa ).

Widzimy, że:

zatem   są do siebie podobne.

d) 

Widzimy, że w obydwu trójkątach znajduje się kąt prosty.

Widzimy, że  ponieważ ramiona obydwu trójkątów i kąt przy wierzchołku  pokrywają się.

Widzimy, że w obydwu trójkątach występują kąty proste i kąty o mierze , zatem trzeci kąt musi mieć taką samą miarę w obydwu trójkątach (suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie zawsze jest równa ).

Widzimy, że:

zatem   są do siebie podobne.