Definicja 1

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi , określoną wzorem , gdzie .

O zmiennych  mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Przykład 1

Dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni. Ilu potrzeba robotników, aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni?

Przyjmujemy, że jeśli jeden robotnik wykonuje pewna pracę w pewnym czasie, to czterech robotników wykona tę pracę w czasie cztery razy krótszym, a dziesięciu robotników w czasie dziesięć razy krótszym. Widzimy, że liczba robotników i czas ich pracy to wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Oznaczmy:

 – liczba robotników potrzebnych do wykonania pracy w ciągu 8 dni

Wiemy, że dwudziestu robotników wykona pewną pracę w ciągu 12 dni:

Wiemy, że  robotników wykona tę samą pracę w ciągu 8 dni:

Otrzymujemy równanie:

Aby wykonać tę pracę w ciągu 8 dni potrzebnych jest trzydziestu robotników.

Przykład 2

Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością .

a) Ile czasu zajęłoby mu pokonanie tej samej drogi pieszo ze średnią prędkością ?

b) Jaką prędkością jedzie autobus, który pokonuje tę samą drogę w czasie 24 minut?

Oznaczmy:

 – droga

 – prędkość

 – czas

Wielkość  jest w tym przypadku współczynnikiem proporcjonalności, zaś wielkości  są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Wiemy, że prędkość wyrażona jest wzorem:

Przekształcamy wzór tak, aby wyrażał wzór na drogę:

Wyznaczymy długość drogi jaką pokonuje Robert. Wiemy, że Robert jadąc rowerem pokonuje drogę do szkoły w czasie 30 minut, jadąc ze średnią prędkością , zatem:

a) Wiemy, że idąc pieszo Robert porusza się ze średnią prędkością , zatem:

b) Wiemy, że autobus pokonuje tę samą drogę w czasie 6 minut, zatem:

Przykład 3

Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych , których iloczyn jest stały i równy -5.

Wykresem funkcji , gdzie , jest hiperbola. Składa się ona z dwóch części, z których każdą nazywamy gałęzią hiperboli.