Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych

Szczegóły: Odsłon: 4294

Definicja 1

Liczba naturalna jest podzielna przez liczbę naturalną , gdzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna , dla której .

Liczbę nazywamy dzielnikiem liczby , natomiast o liczbie mówimy, że jest wielokrotnością liczby .

Przykład 1

Wyznacz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza to .

zatem

Zauważmy, że otrzymaliśmy iloczyn liczby i liczby , a więc dla dowolnej liczby naturalnej suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez .

Definicja 2

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od , której jedynymi dzielnikami są i .

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od , która nie jest liczbą pierwszą.

Liczby oraz nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przykład 2

a) Podaj sześć liczb pierwszych zaczynając od najmniejszej:

b) Podaj sześć kolejnych liczb złożonych zaczynając od :

Przykład 3

Wypisz wszystkie dzielniki liczby :

Cechy podzielności liczb naturalnych

liczba naturalna	cecha podzielności przez liczbę
2	ostatnią cyfrą liczby jest
3	suma cyfr liczby jest podzielna przez
4	dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę podzielną przez
5	ostatnią cyfrą liczby jest
6	liczba jest podzielna przez i przez
8	trzy ostatnie cyfry to lub tworzą liczbę podzielną przez
9	suma cyfr liczby jest podzielna przez
10	ostatnią cyfrą liczby jest
25	dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę lub są zerami

Przykład 4

Liczba :

- jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę , a ta nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest

- jest podzielna przez , ponieważ jest podzielna przez i przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej trzy ostatnie cyfry nie są zerami i liczba utworzona z trzech ostatnich liczb, czyli , nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ suma jej cyfr wynosi i nie jest podzielna przez

- nie jest podzielna przez , ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8

- nie jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie liczby nie tworzą liczby , ani nie są zerami.

Definicja 3

Największym wspólnym dzielnikiem () liczb i nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb i i zapisujemy .

Najmniejszą wspólną wielokrotnością () liczb i nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, różną od zera, która jest podzielna przez każdą z liczb i i zapisujemy .

Przykład 5

Znajdziemy i

Największy wspólny dzielnik

Wyznaczamy rozkład liczb i na czynniki pierwsze (wykonujemy dzielenie liczby przez najmniejsze możliwe większe od naturalne dzielniki tych liczb)

Wykonujemy dzielenie liczby

Zatem liczbę możemy zapisać jako:

Wykonujemy dzielenie liczby

Zatem liczbę możemy zapisać jako:

Zauważamy, że w rozkładach na czynniki pierwsze liczb i powtarza się , zatem

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Już wiemy, że oraz . Wyznaczając bierzemy po uwagę wszystkie czynniki, które nie powtarzają się w obydwu rozkładach, zatem z liczby i z liczby .

Twierdzenie 1

Dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich i , prawdziwa jest równość

Twierdzenie 2

Dla dowolnych liczb naturalnych i , gdzie istnieje tylko jedna para liczb naturalnych i , dla których , gdzie .

Reszta z dzielenia liczb całkowitych jest równa lub jest liczbą całkowitą dodatnią.

Przykład 6

Jakie reszty możemy otrzymać w wyniku dzielenia liczb naturalnych przez ?

Reszta z dzielenia jest liczbą naturalną, która jest mniejsza od dzielnika, zatem w wyniku dzielenia liczby naturalnej przez , możemy otrzymać następujące reszty: