Koło o środku w punkcie O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza bądź równa r.

Twierdzenie 1. (pole koła)

Pole koła o promieniu  wyraża się wzorem:

Przykład 1.

Oblicz pole koła o promieniu . Podaj przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do .

Rozwiązanie:

Obliczamy pole koła.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Podajemy przybliżenie dziesiętne wyniku z dokładnością do .

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Przykład 2.

Dwa okręgi współśrodkowe o różnym promieniu wyznaczają pierścień kołowy. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu i ma długość . Oblicz pole tego pierścienia.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek:

Oznaczmy:

 – długość promienia większego koła

– długość promienia mniejszego koła

 – pole pierścienia

 – pole większego koła

 – pole mniejszego koła

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Wyznaczamy wartość wyrażenia  korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole pierścienia.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Część wspólną koła i kąta środkowego  nazywamy wycinkiem koła, odpowiadającym temu kątowi.

Twierdzenie 2. (pole wycinka koła)

Pole wycinka koła o promieniu r wyraża się wzorem:

 – miara kąta środkowego

 – długość łuku jaki wyznacza wycinek koła

 lub 

Przykład 3.

Oblicz pole wycinka kola o promieniu , jeśli:

a) kąt środkowy ;

b) łuk jaki wyznacza wycinek koła ma długość .

Rozwiązanie:

Obliczamy pole wycinka koła.

a) Wiemy, że:

Otrzymujemy:

b) Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Przykład 3.

W wycinek koła o promieniu  wpisano okrąg o promieniu . Oblicz pole podanego wycinka.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy długość odcinka AO.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Wyznaczamy miarę kąta BAO korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Wyznaczamy miarę kąta .

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole wycinka.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Dowolna cięciwa dzieli koło na dwa odcinki kołowe.

Przykład 4.

Oblicz pole odcinka kołowego zaznaczonego kolorem na rysunku poniżej, jeśli promień koła jest równy , a cięciwa ma długość .

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

 – promień koła

 – długość cięciwy

 – kąt środkowy

Wyznaczamy miarę kąta środkowego  korzystając z twierdzenia cosinusów.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Korzystamy z wzorów redukcyjnych.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole wycinka koła.

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole odcinka kołowego.

Oznaczmy:

 – pole odcinka kołowego

 – pole wycinka koła

 – pole trójkąta wyznaczonego przez cięciwę i promienie koła

Zauważamy że:

Otrzymujemy: