Napisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego interpretację graficzną przedstawia poniższy rysunek. Podaj jego rozwiązanie (o ile istnieje).

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

      

Rozwiązanie:

a) 

Widzimy, że jedna z prostych jest równoległa do osi OY i przechodzi przez punkt , zatem jest to prosta opisana równaniem

Druga prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych . Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

b) 

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych . Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

c) 

Widzimy, że jedna z prostych jest równoległa do osi OX i przechodzi przez punkt , zatem jest to prosta opisana równaniem

Druga prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych . Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb .

d) 

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i nie mają żadnych punktów wspólnych. Układ jest sprzeczny, brak rozwiązań.

e) 

Jedna z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Druga z prostych przechodzi przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy ją w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i nie mają żadnych punktów wspólnych. Układ jest sprzeczny, brak rozwiązań.

f) 

Obydwie proste przechodzą przez punkty o współrzędnych .

Przedstawimy je w postaci .

Wiemy, że prosta opisana równaniem  przecina oś OY w punkcie o współrzędnych . Zauważamy, że nasz prosta przecina oś OY w punkcie o współrzędnych , zatem jej wyraz wolny .

Korzystając ze współrzędnych punktu  wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej a.

Otrzymujemy równanie prostej

Aby drugie równanie nie było identyczne przemnożymy obie strony równania np. przez :

Rysunek przedstawia zatem interpretację graficzną układu równań:

Widzimy, że wykresy tych funkcji są do siebie równoległe i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się). Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań.