Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej. Podaj przedziały monotoniczności funkcji f. Oblicz współrzędne punktu wspólnego paraboli będącej wykresem funkcji f z osią OY i punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli. Naszkicuj wykres funkcji f.

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

      

Rozwiązanie:

Wiemy, że jeśli współczynnik funkcji kwadratowej  ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast, jeśli  ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Wiemy, że wykres funkcji kwadratowej f przecina oś OY w punkcie o współrzędnych .

Wiemy, że oś symetrii jest wyznaczona przez pierwszą współrzędną wierzchołka, zatem jest opisana równaniem .

a) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  , zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem

b) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

Funkcja malejąca:

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem

c) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że   , zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem

d) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

 

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

Funkcja malejąca:

 

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

 

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem

 

e) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

 

 

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  , zatem ramiona paraboli skierowane są do góry oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja malejąca:

Funkcja rosnąca:

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem

f) 

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f:

 

 

 

 

 

 

 

Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej:

 

 

 

Wyznaczamy przedziały monotoniczności:

Wiemy, że  , zatem ramiona paraboli skierowane są do dołu oraz że wierzchołek ma współrzędne . Otrzymujemy:

Funkcja rosnąca:

Funkcja malejąca:

Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji f i osi OY:

Wyznaczamy współrzędne punktu symetrycznego do niego względem osi symetrii paraboli:

Wiemy, że oś symetrii paraboli:

zatem