Dany jest kwadrat ABCD, w którym . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Dany jest kwadrat ABCD, w którym . Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy równanie prostej AC. Wiemy, że jest ona prostopadła do prostej o równaniu  (przekątne kwadratu są do siebie prostopadłe). Wiemy, że jeśli proste są do siebie prostopadłe to ich współczynniki kierunkowe a są do siebie przeciwne i odwrotne, zatem:

Wyznaczamy wyraz wolny b. Wiemy, że do prostej AC należy punkt , zatem:

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD (punkt S):

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania:

Obliczamy pole kwadratu. Korzystamy ze wzoru:

Wyznaczamy długość przekątnej kwadratu (d). Wiemy, że

Korzystamy ze wzoru na długość odcinka przechodzącego przez dwa punkty o podanych współrzędnych:

Matematyka, matura 2020: zadanie 32 - poziom podstawowy