Wyznacz miary kątów w trójkącie, wiedząc, że:

a) pozostają w stosunku 2:3:4;

b) trójkąt jest równoramienny i jeden z kątów ma miarę dwa razy większą od drugiego;

c) największy kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych, a kąt środkowy jest równy średniej arytmetycznej dwóch pozostałych kątów.

Rozwiązanie:

a) pozostają w stosunku 2:3:4

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa , zatem:

Szukane kąty trójkąta to:

b) trójkąt jest równoramienny i jeden z kątów ma miarę dwa razy większą od drugiego

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa , zatem:

Przypadek I – kąt między ramionami jest dwa razy większy od kąta przy podstawie.

Szukane kąty trójkąta to:

Przypadek II – kąt przy podstawie jest dwa razy większy od kąta między ramionami.

Szukane kąty trójkąta to:

c) największy kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych, a kąt środkowy jest równy średniej arytmetycznej dwóch pozostałych kątów

Załóżmy, że

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równa , zatem:

Wiemy, że największy kąt trójkąta jest równy sumie dwóch pozostałych:

Wiemy, że kąt środkowy jest równy średniej arytmetycznej dwóch pozostałych kątów:

Szukane kąty trójkąta to: