Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶. Na środku boku 𝐴𝐵 zaznaczono punkt 𝐷. Następnie poprowadzono odcinek 𝐷𝐶, dzielący trójkąt 𝐴𝐵𝐶 na dwa trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐷𝐵𝐶. Ponadto|𝐴𝐷| = |𝐷𝐵| = 30 cm oraz |𝐷𝐶| = 50 cm (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 jest równe 600 cm².

P   F

Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest dwa razy większe od pola trójkąta 𝐴𝐷𝐶.

P   F

Rozwiązanie:

Pierwsze zdanie:

Oznaczmy:

x – długość odcinka 𝐵𝐶

Zauważamy, że trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest trójkątem prostokątnym, zatem możemy wyznaczyć długość odcinka  korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Obliczamy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶:

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Drugie zdanie:

Zauważamy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem prostokątnym.

Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:

Wiemy, że:

Otrzymujemy:

Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶:

Zauważamy, że jeśli od pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 odejmiemy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 to otrzymamy pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶, zatem:

Matematyka, egzamin ósmoklasisty 2025: zadanie 11